Imaginez une source sonore minuscule (ponctuelle) émettant un son pur et continu (harmonique) dans un environnement où les propriétés acoustiques sont les mêmes partout (homogène) et sans limites (infini). C'est une situation idéalisée, mais elle sert de base pour comprendre comment le son se propage dans des conditions simples.

L'équation qui gouverne ce phénomène est l'équation de Helmholtz :
\[ \left[ \nabla^2 + k^2 \right] p(\mathbf{r}) = -i \omega \rho_0 Q_0 \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}_0) \]

avec $\nabla^2$ (Laplacien) représente la variation spatiale de la pression acoustique $p(r)$ (en mètre inverse au carré, m⁻²),

$k$ le nombre d'onde (en mètre inverse, m⁻¹),

$p(r)$ la pression acoustique (en Pascale, Pa),

$\omega$ la fréquence angulaire de l'onde (en radian par seconde, rad/s),

$\rho_0$ la densité du milieu dans lequel l'onde se propage (en kilogramme par mètre cube, kg/m³),

$Q_0$ l'amplitude de la source sonore (en Newton par mètre cube, N/m³),

$\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}_0)$ la fonction delta de Dirac, qui représente une source ponctuelle située en $r_0$ (en mètre inverse au cube, m⁻³).

Pour résoudre cette équation, on impose des conditions aux limites. Dans ce cas, on utilise les conditions de Sommerfeld, qui imposent qu'il n'y ait pas d'échos, c'est-à-dire que les ondes sonores se propagent à l'infini sans être réfléchies.

La solution de cette équation est une onde sphérique qui se propage à partir de la source :
\[ p(\mathbf{r}) = \frac{i \omega \rho_0 Q_0}{4 \pi} \frac{e^{ik|\mathbf{r}|}}{|\mathbf{r}|} \]
Cette solution nous dit que :
• L'amplitude du son diminue avec la distance ($1/r$). C'est l'atténuation géométrique : plus on s'éloigne de la source, plus le son est faible.
• Le son se propage sous forme d'onde sphérique. Les fronts d'onde sont des sphères concentriques autour de la source.
• La phase de l'onde dépend de la distance. Le terme $e^(ikr)$ indique que l'onde oscille en se propageant.

Dans un milieu sans pertes, l’énergie acoustique est conservée ; elle se répartit sur le front d’onde. \[ P = I(r) S(r) = I(2r) S(2r) \]

$P$ la puissance acoustique (en Watt, W),

$I(r)$ l'intensité acoustique (en Watt par mètre carré, W/m²),

$S(r)$ la surface de la sphère (en mètre carré, m²).

Or comme $S(r) = 4πr²$, on a $S(2r) = 4π(2r)² = 16πr² = 4 * S(r)$.
En remplaçant $S(2r)$ dans l'équation précédente, on obtient $I(2r) = \frac{I(r)}{4}$.

Le niveau sonore $L$ est une mesure logarithmique de l'intensité sonore, définie par $L = 10\log(\frac{I}{I_0})$, où $I_0$ est une intensité de référence. On a donc : \[ L(2r) = 10 \log \left( \frac{I(2r)}{I_0} \right) \\ L(2r) = 10 \log \left( \frac{I(r)}{4I_0} \right) \\ L(2r) = 10 \log \left( \frac{I(r)}{I_0} \right) - 10 \log(4) \\ L(2r) = L(r) - 6 \text{ dB} \]
Cette démonstration montre que dans un espace homogène infini, lorsque la distance à la source double, l'intensité sonore est divisée par 4 et le niveau sonore diminue de 6 dB. C'est la loi en carré inverse.

En 2D, le niveau sonore diminue de 3 dB par doublement de distance.